Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes
Un panorama de la théorie des groupes finis. Les groupes sont étudiés à partir du treillis de leurs sous-groupes et un atlas de ces treillis est proposé pour les groupes d'ordre inférieur ou égal à 32. Avec de nombreux exercices corrigés. ©Electre 2017
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Auteur principal : | |
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Format : | Livre |
Langue : | français |
Titre complet : | Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes / Alain Debreil |
Publié : |
Paris :
Calvage & Mounet
, DL 2016 |
Description matérielle : | 1 vol. (XXIII-678 p.) |
Collection : | Mathématiques en devenir ; 114 |
Sujets : |
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339 | |a Un panorama de la théorie des groupes finis. Les groupes sont étudiés à partir du treillis de leurs sous-groupes et un atlas de ces treillis est proposé pour les groupes d'ordre inférieur ou égal à 32. Avec de nombreux exercices corrigés. ©Electre 2017 | ||
320 | |a Bibliogr. p. 665-[666]. Notes bibliogr. Index | ||
359 | 2 | |b I. Définitions et rappels |p P. 1 |c 1. Groupes |p P. 3 |c 2. Sous-groupes |p P. 5 |c 3. Sous-groupes particuliers |p P. 6 |c 4. Morphisme de groupes |p P. 9 |c 5. Ordre d'un groupe, d'un sous-groupe et d'un élément |p P. 11 |c 6. Relation d'équivalence modulo un sous-groupe |p P. 13 |c 7. Quotient par un sous-groupe |p P. 19 |c 8. Usage du quotient |p P. 23 |c 9. Le produit direct |p P. 27 |c 10. Le groupe des automorphismes |p P. 32 |c 11. Action de groupes |p P. 42 |c 12. Isométries du plan affine euclidien et triangles équilatéraux |p P. 50 |c 13. Compléments sur les morphismes de groupes |p P. 53 |c 14. Groupes abéliens de type fini |p P. 55 |c 15. Les théorèmes de Sylow |b II. Treillis des sous-groupes |p P. 63 |c 1. Treillis et treillis nivelé |p P. 67 |c 2. Reillis des sous-groupes d'un groupe |p P. 69 |c 3. Images directe et réciproque des sous-groupes par un morphisme |p P. 74 |c 4. Autres propriétés des fonctions images directe et réciproque |p P. 76 |c 5. Le théorème du treillis-quotient |p P. 77 |c 6. Interprétation en termes de treillis |p P. 78 |c 7. Le premier théorème d'isomorphisme |p P. 80 |c 8. Le deuxième théorème d'isomorphisme |p P. 82 |c 9. Le troisième théorème d'isomorphisme |p P. 84 |c 10. Le théorème de Zassenhaus ou lemme du papillon |p P. 85 |c 11. Exemple d'isomorphisme de treillis nivelés |p P. 87 |c 12. G-treillis nivelés des sous-groupes de G |p P. 89 |c 13. Les p-sous-groupes de Sylow |p P. 93 |c 14. Le lemme de Frattini |p P. 94 |c 15. La correspondance de Galois |p P. 96 |c 16. Autres applications entre treillis |b III. Exemples de treillis de sous-groupes |p P. 99 |c 1. Un exemple simple : le groupe cyclique d'ordre p |p P. 101 |c 2. Le groupe cyclique d'ordre p2 |p P. 102 |c 3. Le groupe cyclique d'ordre pm |p P. 105 |c 4. Les sous-groupes maximaux |p P. 107 |c 5. Le groupe cyclique Cn |p P. 109 |c 6. L'espace vectoriel de dimension 2 sur (...)p |p P. 111 |c 7. Les groupes abéliens finis |p P. 112 |c 8. Le groupe diédral D3 |p P. 115 |c 9. Autres groupes non commutatifs d'ordre 6 |p P. 117 |c 10. Générateurs et relations, présentation |p P. 122 |c 11. Les groupes d'ordre pq, avec p > q premiers |p P. 125 |c 12. Que déduire du treillis nivelé d'un groupe ? |b IV. Graphes de Cayley |p P. 135 |c 1. Les graphes de Cayley |p P. 140 |c 2. Le groupe cyclique Cn |p P. 140 |c 3. Le groupe diédral D3 |p P. 142 |c 4. Ajout d'une relation |p P. 143 |c 5. Graphe de Cayley d'un produit direct |p P. 144 |c 6. Les groupes diédraux Dn et D(...) |p P. 147 |c 7. Le groupe des quaternions |p P. 148 |c 8. Les groupes de permutations |p P. 152 |c 9. Les groupes de Coxeter |p P. 155 |c 10. Le groupe (...)4 comme groupe de Coxeter |p P. 158 |c 11. Une autre présentation de Coxeter de (...)4 |b V. Produits directs et semi-directs |p P. 161 |c 1. Produits de sous-groupes |p P. 164 |c 2. Compléments d'un sous-groupe distingué |p P. 166 |c 3. Scindages et compléments |p P. 167 |c 4. Produit semi-direct externe |p P. 175 |c 5. Produits semi-directs internes vus comme semi-directs externes |p P. 177 |c 6. Le produit en couronne |p P. 181 |c 7. Treillis des sous-groupes d'un produit semi-direct interne |p P. 184 |c 8. Produit direct interne |p P. 187 |c 9. Sous-groupes rectangles |p P. 189 |c 10. Produit cartésien de treillis |p P. 190 |c 11. Relations de distinction |b VI. Le produit semi-direct amalgamé |p P. 193 |c 1. Produit semi-direct amalgamé |p P. 197 |c 2. Exemples de produits semi-directs amalgamés |p P. 204 |c 3. Extension de groupes |p P. 207 |c 4. Générateurs et relations |b VII. Groupes résolubles et nilpotents |p P. 213 |c 1. Groupes résolubles |p P. 218 |c 2. Les suites de Jordan-Hölder |p P. 224 |c 3. Groupes nilpotents |p P. 236 |c 4. Tableau panoramique |b VIII. Le Frattini (...)(G) de G |p P. 240 |c 1. Définitions et premières propriétés |p P. 241 |c 2. Cas des groupes nilpotents |b IX. Treillis des groupes commutatifs finis |p P. 253 |c 1. La notion de dual d'un groupe abélien fini |p P. 256 |c 2. Un groupe ébélien fini et son dual ont même cardinal |p P. 257 |c 3. Orthogonalité dans le dual |p P. 262 |c 4. Exemples de calcul de l'orthogonal |p P. 263 |c 5. Les sous-groupes orthogonaux à eux-mêmes |b X. Procédés de construction de groupes |p P. 266 |c 1. L'ensemble Hom (G, H) |p P. 273 |c 2. Associativité à droite du produit semi-direct |p P. 275 |c 3. Isomorphisme entre produits semi-directs |p P. 285 |c 4. Exemple de construction de produits semi-directs |b XI. Promenade au pays des treillis |p P. 291 |c 1. Premiers pas |p P. 294 |c 2. Quelques exercices classiques pour démarrer |p P. 296 |c 3. Quelques groupes particuliers |p P. 303 |c 4. Les groupes d'ordre p3 |p P. 307 |c 5. Quand un p-groupe possède un unique sous-groupe d'ordre p |p P. 314 |c 6. Quand tous les sous-groupes sont distingués |p P. 319 |c 7. Le G-treillis nivelé n'est pas équivalent au groupe |b XII. Quelques problèmes |p P. 325 |c 1. Le produit direct (...)3 x (...)3 |p P. 327 |c 2. Les extensions de C2 et C3 par (...)5 |p P. 329 |c 3. Le groupe SL2((...)3) |p P. 332 |c 4. Le groupe SL2 ((...)5) |p P. 333 |c 5. Le groupe GL3 ((...)2) |p P. 339 |c 6. Le groupe (...), seul groupe non abélien d'ordre 21 |p P. 340 |c 7. Groupes de matrices triangulaires |b Annexe A. Solutions |p P. 347 |c Exercices du chapitre I |p P. 376 |c Exercices du chapitre II |p P. 378 |c Exercices du chapitre III |p P. 387 |c Exercices du chapitre IV |p P. 393 |c Exercices du chapitre V |p P. 407 |c Exercices du chapitre VI |p P. 412 |c Exercices du chapitre VII |p P. 421 |c Exercices du chapitre VIII |p P. 429 |c Exercices du chapitre IX |p P. 432 |c Exercices du chapitre X |p P. 443 |c Exercices du chapitre XI |p P. 459 |c Exercices du chapitre XII |b Annexe B. Groupes d'ordre 1 à 31 |p P. 499 |c 1. Légende |p P. 503 |c 2. Ordres de 1 à 7 |p P. 506 |c 3. Ordre 8 |p P. 509 |c 4. Ordres de 9 à 11 |p P. 511 |c 5. Ordres de 12 à 15 |p P. 518 |c 6. Ordre 16 |p P. 532 |c 7. Ordres de 17 à 23 |p P. 545 |c 8. Ordre 24 |p P. 560 |c 9. Ordres 25 a 31 |b Annexe C. Groupes d'ordre 32 |p P. 577 |c 1. Groupes d'ordre 32, commutatifs |p P. 584 |c 2. Groupes d'ordre 32 à deux générateurs, non commutatifs |p P. 601 |c 3. Groupes d'ordre 32 à trois générateurs, non commutatifs |p P. 623 |c 4. Groupes d'ordre 32 à quatre générateurs, non commutatifs |b Annexe D. Autres groupes finis |p P. 629 |c 1. Groupes et sous-groupes linéaires |p P. 652 |c 2. Groupes symétriques et alternés |p P. 659 |c 3. Groupes non résolubles |p P. 665 |b Bibliographie |p P. 667 |b Notations |p P. 671 |b Index | |
410 | | | |0 099456524 |t Mathématiques en devenir |x 1951-5243 |v 114 | |
606 | |3 PPN027711129 |a Groupes finis |2 rameau | ||
606 | |3 PPN027837866 |a Treillis, Théorie des |2 rameau | ||
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