Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes
Un panorama de la théorie des groupes finis. Les groupes sont étudiés à partir du treillis de leurs sous-groupes et un atlas de ces treillis est proposé pour les groupes d'ordre inférieur ou égal à 32. Avec de nombreux exercices corrigés. ©Electre 2017
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Auteur principal : | |
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Format : | Livre |
Langue : | français |
Titre complet : | Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes / Alain Debreil |
Publié : |
Paris :
Calvage & Mounet
, DL 2016 |
Description matérielle : | 1 vol. (XXIII-678 p.) |
Collection : | Mathématiques en devenir ; 114 |
Sujets : |
- I. Définitions et rappels
- P. 1
- 1. Groupes
- P. 3
- 2. Sous-groupes
- P. 5
- 3. Sous-groupes particuliers
- P. 6
- 4. Morphisme de groupes
- P. 9
- 5. Ordre d'un groupe, d'un sous-groupe et d'un élément
- P. 11
- 6. Relation d'équivalence modulo un sous-groupe
- P. 13
- 7. Quotient par un sous-groupe
- P. 19
- 8. Usage du quotient
- P. 23
- 9. Le produit direct
- P. 27
- 10. Le groupe des automorphismes
- P. 32
- 11. Action de groupes
- P. 42
- 12. Isométries du plan affine euclidien et triangles équilatéraux
- P. 50
- 13. Compléments sur les morphismes de groupes
- P. 53
- 14. Groupes abéliens de type fini
- P. 55
- 15. Les théorèmes de Sylow
- II. Treillis des sous-groupes
- P. 63
- 1. Treillis et treillis nivelé
- P. 67
- 2. Reillis des sous-groupes d'un groupe
- P. 69
- 3. Images directe et réciproque des sous-groupes par un morphisme
- P. 74
- 4. Autres propriétés des fonctions images directe et réciproque
- P. 76
- 5. Le théorème du treillis-quotient
- P. 77
- 6. Interprétation en termes de treillis
- P. 78
- 7. Le premier théorème d'isomorphisme
- P. 80
- 8. Le deuxième théorème d'isomorphisme
- P. 82
- 9. Le troisième théorème d'isomorphisme
- P. 84
- 10. Le théorème de Zassenhaus ou lemme du papillon
- P. 85
- 11. Exemple d'isomorphisme de treillis nivelés
- P. 87
- 12. G-treillis nivelés des sous-groupes de G
- P. 89
- 13. Les p-sous-groupes de Sylow
- P. 93
- 14. Le lemme de Frattini
- P. 94
- 15. La correspondance de Galois
- P. 96
- 16. Autres applications entre treillis
- III. Exemples de treillis de sous-groupes
- P. 99
- 1. Un exemple simple : le groupe cyclique d'ordre p
- P. 101
- 2. Le groupe cyclique d'ordre p2
- P. 102
- 3. Le groupe cyclique d'ordre pm
- P. 105
- 4. Les sous-groupes maximaux
- P. 107
- 5. Le groupe cyclique Cn
- P. 109
- 6. L'espace vectoriel de dimension 2 sur (...)p
- P. 111
- 7. Les groupes abéliens finis
- P. 112
- 8. Le groupe diédral D3
- P. 115
- 9. Autres groupes non commutatifs d'ordre 6
- P. 117
- 10. Générateurs et relations, présentation
- P. 122
- 11. Les groupes d'ordre pq, avec p > q premiers
- P. 125
- 12. Que déduire du treillis nivelé d'un groupe ?
- IV. Graphes de Cayley
- P. 135
- 1. Les graphes de Cayley
- P. 140
- 2. Le groupe cyclique Cn
- P. 140
- 3. Le groupe diédral D3
- P. 142
- 4. Ajout d'une relation
- P. 143
- 5. Graphe de Cayley d'un produit direct
- P. 144
- 6. Les groupes diédraux Dn et D(...)
- P. 147
- 7. Le groupe des quaternions
- P. 148
- 8. Les groupes de permutations
- P. 152
- 9. Les groupes de Coxeter
- P. 155
- 10. Le groupe (...)4 comme groupe de Coxeter
- P. 158
- 11. Une autre présentation de Coxeter de (...)4
- V. Produits directs et semi-directs
- P. 161
- 1. Produits de sous-groupes
- P. 164
- 2. Compléments d'un sous-groupe distingué
- P. 166
- 3. Scindages et compléments
- P. 167
- 4. Produit semi-direct externe
- P. 175
- 5. Produits semi-directs internes vus comme semi-directs externes
- P. 177
- 6. Le produit en couronne
- P. 181
- 7. Treillis des sous-groupes d'un produit semi-direct interne
- P. 184
- 8. Produit direct interne
- P. 187
- 9. Sous-groupes rectangles
- P. 189
- 10. Produit cartésien de treillis
- P. 190
- 11. Relations de distinction
- VI. Le produit semi-direct amalgamé
- P. 193
- 1. Produit semi-direct amalgamé
- P. 197
- 2. Exemples de produits semi-directs amalgamés
- P. 204
- 3. Extension de groupes
- P. 207
- 4. Générateurs et relations
- VII. Groupes résolubles et nilpotents
- P. 213
- 1. Groupes résolubles
- P. 218
- 2. Les suites de Jordan-Hölder
- P. 224
- 3. Groupes nilpotents
- P. 236
- 4. Tableau panoramique
- VIII. Le Frattini (...)(G) de G
- P. 240
- 1. Définitions et premières propriétés
- P. 241
- 2. Cas des groupes nilpotents
- IX. Treillis des groupes commutatifs finis
- P. 253
- 1. La notion de dual d'un groupe abélien fini
- P. 256
- 2. Un groupe ébélien fini et son dual ont même cardinal
- P. 257
- 3. Orthogonalité dans le dual
- P. 262
- 4. Exemples de calcul de l'orthogonal
- P. 263
- 5. Les sous-groupes orthogonaux à eux-mêmes
- X. Procédés de construction de groupes
- P. 266
- 1. L'ensemble Hom (G, H)
- P. 273
- 2. Associativité à droite du produit semi-direct
- P. 275
- 3. Isomorphisme entre produits semi-directs
- P. 285
- 4. Exemple de construction de produits semi-directs
- XI. Promenade au pays des treillis
- P. 291
- 1. Premiers pas
- P. 294
- 2. Quelques exercices classiques pour démarrer
- P. 296
- 3. Quelques groupes particuliers
- P. 303
- 4. Les groupes d'ordre p3
- P. 307
- 5. Quand un p-groupe possède un unique sous-groupe d'ordre p
- P. 314
- 6. Quand tous les sous-groupes sont distingués
- P. 319
- 7. Le G-treillis nivelé n'est pas équivalent au groupe
- XII. Quelques problèmes
- P. 325
- 1. Le produit direct (...)3 x (...)3
- P. 327
- 2. Les extensions de C2 et C3 par (...)5
- P. 329
- 3. Le groupe SL2((...)3)
- P. 332
- 4. Le groupe SL2 ((...)5)
- P. 333
- 5. Le groupe GL3 ((...)2)
- P. 339
- 6. Le groupe (...), seul groupe non abélien d'ordre 21
- P. 340
- 7. Groupes de matrices triangulaires
- Annexe A. Solutions
- P. 347
- Exercices du chapitre I
- P. 376
- Exercices du chapitre II
- P. 378
- Exercices du chapitre III
- P. 387
- Exercices du chapitre IV
- P. 393
- Exercices du chapitre V
- P. 407
- Exercices du chapitre VI
- P. 412
- Exercices du chapitre VII
- P. 421
- Exercices du chapitre VIII
- P. 429
- Exercices du chapitre IX
- P. 432
- Exercices du chapitre X
- P. 443
- Exercices du chapitre XI
- P. 459
- Exercices du chapitre XII
- Annexe B. Groupes d'ordre 1 à 31
- P. 499
- 1. Légende
- P. 503
- 2. Ordres de 1 à 7
- P. 506
- 3. Ordre 8
- P. 509
- 4. Ordres de 9 à 11
- P. 511
- 5. Ordres de 12 à 15
- P. 518
- 6. Ordre 16
- P. 532
- 7. Ordres de 17 à 23
- P. 545
- 8. Ordre 24
- P. 560
- 9. Ordres 25 a 31
- Annexe C. Groupes d'ordre 32
- P. 577
- 1. Groupes d'ordre 32, commutatifs
- P. 584
- 2. Groupes d'ordre 32 à deux générateurs, non commutatifs
- P. 601
- 3. Groupes d'ordre 32 à trois générateurs, non commutatifs
- P. 623
- 4. Groupes d'ordre 32 à quatre générateurs, non commutatifs
- Annexe D. Autres groupes finis
- P. 629
- 1. Groupes et sous-groupes linéaires
- P. 652
- 2. Groupes symétriques et alternés
- P. 659
- 3. Groupes non résolubles
- P. 665
- Bibliographie
- P. 667
- Notations
- P. 671
- Index