Les s‘̂ries divergentes, d'Euler ̂Ramanujan

Les s‘̂ries divergentes, d'Euler ̂Ramanujan

Les s‘̂ries inspirent joie et bonheur ̂beaucoup de math‘̂maticiens ; c'est qu'ils y voient le fr‘̂missement des premiers frB4̂lements avec l'id‘̂e d'infini, mais aussi la naissance, tant repouss‘̂e, de l'Analyse. Euler, Bernoulli et Lagrange les avaient manipul‘̂es et en...

Description complète

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Détails bibliographiques
Auteur principal : Candelpergher Bernard
Format : Livre
Langue : français
Titre complet : Les s‘̂ries divergentes, d'Euler ̂Ramanujan / Bernard Candelpergher
Publié : Montrouge : Calvage et Mounet , 2023
Description matérielle : 358 p.
Collection : Nano
Description
Résumé : Les s‘̂ries inspirent joie et bonheur ̂beaucoup de math‘̂maticiens ; c'est qu'ils y voient le fr‘̂missement des premiers frB4̂lements avec l'id‘̂e d'infini, mais aussi la naissance, tant repouss‘̂e, de l'Analyse. Euler, Bernoulli et Lagrange les avaient manipul‘̂es et en avaient r‘̂v‘̂l‘̂ les premiers secrets, sans s'encombrer de la d‘̂finition pr‘̂cise de la convergence, qui viendra plus tard avec Cauchy. Leur n‘̂cessaire pr‘̂sence, et tout l'enchantement qui en r‘̂sulte, embrassait l'infini sans h‘̂sitation ni peur. Le pr‘̂sent livre commence par une introduction au probl′̂me de la sommation des s‘̂ries, destin‘̂e ̂rendre ce sujet accessible au plus grand nombre. L'auteur poursuit avec la r‘̂solution par Euler du probl′̂me de B„̂le et prend le chemin qui, au moyen des s‘̂ries divergentes, conduisit notre math‘̂maticien suisse ̂l'‘̂quation fonctionnelle de la fonction z“̂ta. Ce faisant, on aura fait connaissance avec la transformation d'Abel et les nombres de Bernoulli, qui apparaissent naturellement dans le calcul de cette m“̂me fonction en les entiers pairs. Des notions un peu plus techniques arrivent avec les s‘̂ries de Fourier. L'‘̂tude de ces s‘̂ries va stimuler la recherche de divers proc‘̂d‘̂s de sommation : le proc‘̂d‘̂ de Ces ̂ro, par moyenne de sommes partielles, qui est ̂la base du th‘̂or′̂me de Fej‘̂r, le proc‘̂d‘̂ de Poisson maintenant connu sous le terme de "sommation d'Abel", celui de Riemann qui permet de montrer le th‘̂or′̂me d'unicit‘̂ de Cantor sur les s‘̂ries trigonom‘̂triques. L'auteur nous fait d‘̂couvrir quelques m‘̂thodes de sommation parmi les plus utilis‘̂es, en examinant avec soin les liens entre certaines de ces sommations et la convergence usuelle, ce qui a donn‘̂ naissance aux "th‘̂or′̂mes taub‘̂riens", dont le plus fameux concerne la r‘̂partition des nombres premiers. Mais le coeur de cet ouvrage est l'expos‘̂ de la m‘̂thode de sommation que Srinivasa Ramanujan a initialement fond‘̂e sur la formule d'Euler-Maclaurin. Elle figure dans ses grimoires sous la forme d'une succession de formules, qui ont laiss‘̂, on s'en doute, une touche de grand myst′̂re. Bernard Candelpergher en donne une formulation nouvelle utilisant l'interpolation des fonctions analytiques d'une variable complexe. Il obtient ainsi une pr‘̂sentation permettant d'en gommer la dimension ‘̂nigmatique et d'en obtenir simplement les propri‘̂t‘̂s essentielles. Cela fera aussi le lien avec la sommation d'Euler concernant les s‘̂ries altern‘̂es et permettra d'utiliser cette nouvelle sommation de Ramanujan pour donner un d‘̂veloppement de la fonction z“̂ta au moyen de polynB4̂mes dont les z‘̂ros sont sur la droite critique. Nous avons l ̂un livre d'analyse classique de toute premi′̂re importance, ‘̂crit dans un style clair o’̂ transpara℗̂t le d‘̂sir de l'auteur, voire son bonheur, d'expliquer et de convaincre. Les s‘̂ries divergentes sont ici pour nous rappeler que dans l'infini des possibles, il y a toujours de la beaut‘̂ ̂d‘̂couvrir et de la sagesse ̂s'approprier.
Notes : Ma℗̂tre de conf‘̂rences ̂l'Universit‘̂ de Nice-Sophia Antipolis (en 1993)
ISBN : 978-2-493230-08-9